Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo

$2$ adalah matriks persegi

$2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$ untuk

$A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 3.2

Substitusikan

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk

$I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan

$- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan

$0$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan

$0$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangi

$λ$ dengan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Tambahkan

$- 1$ dan

$0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Determinan dari matriks

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (\sqrt{2} - λ) - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1.1

Pindahkan

$λ$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.1.3.1.2

Kalikan

$λ$ dengan

$λ$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.1.3.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.1.3.3

Kalikan

$λ^{2}$ dengan

$1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan

$- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - - 1$

Langkah 5.2.1.4.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1$

Langkah 5.2.2

Susun kembali

$- λ \sqrt{2}$ dan

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan

$0$ untuk menemukan nilai eigen

$λ$ .

$λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1 = 0$

Langkah 7

Selesaikan

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai

$a = 1$ ,

$b = - \sqrt{2}$ , dan

$c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan

$λ$ .

$\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke

$- \sqrt{2}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2

Naikkan

$- 1$ menjadi pangkat

$2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.3

Kalikan

${\sqrt{2}}^{2}$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4

Tulis kembali

${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.4.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{2}$ sebagai

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4.5

Evaluasi eksponennya.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.5

Kalikan

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.5.1

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.5.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.6

Kurangi

$4$ dengan

$2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.7

Tulis kembali

$- 2$ sebagai

$- 1 (2)$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.8

Tulis kembali

$\sqrt{- 1 (2)}$ sebagai

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.9

Tulis kembali

$\sqrt{- 1}$ sebagai

$i$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.2

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 7.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = \frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$