Aljabar Linear Contoh

[\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$

Langkah 1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinan (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo

2

$2$ adalah matriks persegi

2 \times 2

$2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam

p (λ) = determinan (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan

[\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}]$ untuk

A

$A$ .

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 3.2

Substitusikan

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan

- λ

$- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan

0

$0$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan

0

$0$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan

0

$0$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinan ([\begin{matrix} 0 & 1 - 1 & \sqrt{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

p (λ) = determinan [\begin{matrix} 0 - λ & 1 + 0 - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Langkah 4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangi

λ

$λ$ dengan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{matrix} - λ & 1 + 0 - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tambahkan

1

$1$ dan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{matrix} - λ & 1 - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Tambahkan

- 1

$- 1$ dan

0

$0$ .

p (λ) = determinan [\begin{matrix} - λ & 1 - 1 & \sqrt{2} - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

p (λ) = determinan [\begin{matrix} - λ & 1 - 1 & \sqrt{2} - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

p (λ) = determinan [\begin{matrix} - λ & 1 - 1 & \sqrt{2} - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & \sqrt{2} - λ \end{array}]$

Langkah 5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Determinan dari matriks

2 \times 2

$2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = - λ (\sqrt{2} - λ) - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ (\sqrt{2} - λ) - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

p (λ) = - λ \sqrt{2} - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1

Kalikan

λ

$λ$ dengan

λ

$λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1.1

Pindahkan

λ

$λ$ .

p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.1.3.1.2

Kalikan

λ

$λ$ dengan

λ

$λ$ .

p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ \sqrt{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.1.3.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - λ \sqrt{2} + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.1.3.3

Kalikan

λ^{2}

$λ^{2}$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan

- (- 1 \cdot 1)

$- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - - 1

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} - - 1$

Langkah 5.2.1.4.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1$

p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1$

p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1

$p (λ) = - λ \sqrt{2} + λ^{2} + 1$

Langkah 5.2.2

Susun kembali

- λ \sqrt{2}

$- λ \sqrt{2}$ dan

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1

$p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1$

p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1

$p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1$

p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1

$p (λ) = λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1$

Langkah 6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan

0

$0$ untuk menemukan nilai eigen

λ

$λ$ .

λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1 = 0

$λ^{2} - λ \sqrt{2} + 1 = 0$

Langkah 7

Selesaikan

λ

$λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai

a = 1

$a = 1$ ,

b = - \sqrt{2}

$b = - \sqrt{2}$ , dan

c = 1

$c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan

λ

$λ$ .

\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke

- \sqrt{2}

$- \sqrt{2}$ .

λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2

Naikkan

- 1

$- 1$ menjadi pangkat

2

$2$ .

λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.3

Kalikan

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ dengan

1

$1$ .

λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4

Tulis kembali

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.4.1

Gunakan

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ sebagai

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4.3

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

2

$2$ .

λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4.5

Evaluasi eksponennya.

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.5

Kalikan

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.5.1

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.5.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.6

Kurangi

$4$ dengan

$2$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.7

Tulis kembali

$- 2$ sebagai

$- 1 (2)$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.8

Tulis kembali

$\sqrt{- 1 (2)}$ sebagai

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.9

Tulis kembali

$\sqrt{- 1}$ sebagai

$i$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.2

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$λ = \frac{\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 7.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = \frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{2}$